시뮬레이션만든 도구 three.js
멈추지 않는 공
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튀어 오르는 비율 r이 다른 공을 높이 h에서 떨어뜨려, 끝없이 튀는 공이 움직인 거리 h + 2hr + 2hr² + ⋯가 부분합 막대로 쌓이며 급수의 합 h + 2hr/(1 − r)에 다가가는 것을 본다. r이 1에 가까울수록 합이 커지고 r = 1이면 발산하는 것, 멈출 때까지의 시간도 공비 √r인 등비급수라 유한하다는 것을 확인한다.
핵심 개념등비급수 · 급수의 합 · 부분합 · 공비 · 수렴 · 발산 · 급수
수업에서 쓰기
- 탐구 질문
- 공은 끝없이 튀어 오른다. 공이 움직인 거리를 모두 더하면 끝없이 커질까?
- 수업 흐름
- 테니스공(r = 0.5)을 2 m에서 떨어뜨리기 전에 전체 거리를 어림하고, 부분합 막대가 6 m에 다가가는 것을 본 뒤 h + 2hr/(1 − r)로 확인한다.
- 높이를 바꿔 전체 거리 9 m를 만들고(전체 거리 = 3h), 탁구공(r = 0.8)과 고무공(r = 0.9)으로 r이 1에 가까울수록 합이 빠르게 커지는 것을 본다.
- r = 1인 상상의 공에서 부분합이 4 m씩 끝없이 커지는 것(발산)을 보고, 등비급수가 수렴하는 조건을 정리한다.
- 멈출 때까지 걸리는 시간도 공비 √r인 등비급수라 유한함을 시간의 부분합 막대로 확인한다.
- 성취기준
- [12미적Ⅱ-01-05]